Espaços de Hilbert

Se você é fã da mecânica quântica, certamente já ouviu falar dos espaços de Hilbert. Este tipo de espaço vetorial é crucial em todos os ramos da física quântica, uma vez que a função de onda e os operadores que atuam sobre ela são definidos num espaço de Hilbert.

Os espaços de Hilbert são um tipo de espaços vetoriais abstratos que generalizam o conceito de espaço euclidiano. Para realmente entender o que são, temos que entender o que é um espaço vetorial.

Um espaço vetorial é um tipo de estrutura algébrica definida sobre um conjunto de elementos dotados de duas operações: uma operação interna que é a adição de vetores e uma operação externa que é a multiplicação de vetores por escalares.

Se neste espaço vetorial definimos uma nova operação interna , o famoso produto escalar ou produto interno, então estamos fornecendo uma geometria a esse espaço vetorial. Isso acontece porque o produto escalar nos permite definir ângulos e distâncias entre os elementos do espaço vetorial através da norma.

Quando os elementos deste espaço vetorial com a geometria definida são o conjunto dos números reais então estamos falando de um espaço vetorial euclidiano, pois obedece aos axiomas geométricos de Euclides. Alguns exemplos são a linha (unidimensional) ou o plano (bidimensional).

Os espaços de Hilbert nascem para generalizar os espaços euclidianos para dimensões infinitas. Além disso, os elementos deste tipo de espaços vetoriais podem ser funções e portanto temos um espaço funcional.

Este tipo de espaços vetoriais são mais abstratos que os espaços euclidianos, pois permitem definir uma geometria (distâncias e ângulos) entre funções, por exemplo, complexas. Intuitivamente, é mais difícil compreender uma distância ou ângulo entre duas funções, por isso dizemos que são espaços vetoriais abstratos.

Apenas com a definição dos espaços de Hilbert é difícil entender realmente do que se trata. A forma abstrata da matemática facilita muitos conceitos se forem usados ​​exemplos. A seguir veremos dois exemplos comuns de espaços de Hilbert.

O primeiro exemplo básico de um espaço de Hilbert são os espaços vetoriais euclidianos. Como explicamos, os espaços de Hilbert são uma generalização dos espaços euclidianos, portanto, todo espaço vetorial euclidiano finito é também um espaço de Hilbert (e não vice-versa).

Um exemplo é o espaço tridimensional definido no conjunto dos reais.

O conjunto de funções definido entre dois espaços vetoriais pode formar uma estrutura de espaço vetorial de Hilbert definida pelo produto interno ou produto escalar entre duas funções do conjunto. Estes espaços são de vital importância para áreas como mecânica quântica, inteligência artificial, equações diferenciais parciais ou análise de Fourier.