Théorie des groupes

La théorie des groupes est un domaine de l'algèbre abstraite dédié à l'étude d'une structure algébrique appelée structure de groupe. Ces objets mathématiques sont très utiles dans des domaines scientifiques comme la physique ou la chimie. De nombreuses symétries de la relativité restreinte ou de la mécanique quantique peuvent être définies à travers la structure de groupe algébrique.

L'objectif de cette publication est de donner au lecteur une introduction aux groupes et à leurs applications scientifiques.

La théorie des groupes est née pour étudier les solutions d'équations algébriques par l'intermédiaire des radicaux. Des expressions ont été obtenues pour la résolution d'équations polynomiales de degré 2, degré 3 et degré 4. Cependant, le problème principal était de savoir si pour les degrés supérieurs à 4 il existait des solutions radicales aux équations polynomiales.

Au XIXe siècle, un célèbre mathématicien nommé Niels Henrik Abel a démontré que s’il existait des solutions radicales aux équations polynomiales de degré 5 ou supérieur, nous ne les trouverions jamais.

Plus tard, le jeune Evariste Galois généralisa cette preuve en utilisant le célèbre théorème de Galois.

Ce théorème réalise une union entre la théorie des groupes et la théorie des corps et pourrait être utilisé pour prouver des solutions d'équations polynomiales.

Ainsi, le premier mathématicien à définir le concept de groupe fut le Français Galois.

Des mathématiciens ultérieurs tels que le norvégien Sophus Lie ont étendu la notion de groupe pour l'utiliser dans des problèmes analytiques.

Aujourd’hui, la théorie des groupes est implicite dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique ou de la chimie.

Un groupe est une structure algébrique composée d'un ensemble d'éléments et d'une opération binaire. Cette opération doit satisfaire 4 propriétés. S’ils sont remplis, alors l’ensemble des éléments forme une structure algébrique. Un groupe.

L’opération doit être internalisée. Autrement dit, si nous opérons sur deux éléments du groupe, le résultat doit être un autre élément de l’ensemble.

Les éléments de l'ensemble doivent satisfaire la propriété associative.

Il doit également y avoir un élément neutre. Autrement dit, si nous exploitons un élément avec le neutre, le résultat final est l'élément.

Enfin nous avons besoin de l'existence d'un élément symétrique. Autrement dit, si nous prenons un élément du groupe et l’exploitons avec sa symétrie, nous obtenons l’élément neutre.

Vous n'avez rien compris ? Regardons un exemple !

Pour l’exemple nous utiliserons l’un des groupes les plus courants : le groupe additif des réels. Dans ce groupe, l'ensemble des éléments sont les nombres réels et l'opération est la somme.

Les éléments de ce groupe remplissent la propriété associative puisque :

a+(b+c) = (a+b)+c où a,b et c sont des nombres réels.

Il existe également un élément neutre, 0. a+0 = a

Chaque élément a a un élément symétrique (-a) puisque si on les exploite on obtient l'élément neutre, 0 : a+(-a) = 0.

L'addition dans le groupe additif des réels est une opération interne puisque si l'on ajoute deux éléments réels quelconques, nous obtenons un autre nombre réel.

En effet, l’opération somme répond à toutes les exigences. Par conséquent, l’ensemble des réels et l’opération de somme forment une structure de groupe algébrique.

Si l’opération est également commutative, c’est-à-dire a+b = b+a, alors le groupe est abélien.

Les groupes finis sont ceux dans lesquels l'ensemble qui le forme comporte un nombre fini d'éléments. Quelques exemples sont des groupes symétriques ou des groupes cycliques.

Les groupes infinis sont décrits de manière analogue aux groupes finis. Cependant, dans ce cas, l’ensemble comporte un nombre infini d’éléments. Un groupe infini typique est le groupe de droites général formé par l'ensemble des matrices inversibles de degré n définies sur un corps K. GL(n,K).

Beaucoup de ces groupes peuvent adopter une structure supplémentaire. Si les opérations de groupe sont fluides, continues et régulières, elles peuvent acquérir des structures d'espaces topologiques.

Les célèbres groupes de Lie sont nés ici. Ce sont des groupes avec une structure multiple supplémentaire (espace topologique localement plat). Les propriétés de ces types d’objets sont très intéressantes et ont de nombreuses utilisations en physique quantique ou en physique relativiste.

En bref, les groupes de Lie sont des structures de groupes algébriques qui, en raison de leurs propriétés algébriques, acquièrent une structure spatiale topologique appelée variété.

Les groupes de Lie sont très utiles en physique car ils décrivent des ensembles de symétries dans la nature.

Et qu’est-ce que cela signifie ?

Eh bien, il existe un théorème très célèbre appelé théorème de Noether formulé par la fabuleuse mathématicienne Emilie Noether.

Cela signifie que toute grandeur conservée en physique est associée à une symétrie. Par exemple, l'énergie est conservée grâce à la symétrie temporelle. Le moment linéaire est conservé en raison d'une symétrie de translation et le moment cinétique est conservé puisqu'il existe une symétrie de rotation.

Nous entrerons ensuite plus en détail sur l’utilisation de la théorie des groupes en physique théorique.

Les théories quantiques des champs sont des théories de jauge qui décrivent les forces et interactions fondamentales à travers certaines symétries.

L'avez-vous déjà deviné ?

En effet, ces symétries sont décrites à travers les groupes de Lie. Regardons quelques exemples :

L’interaction nucléaire forte est la force qui maintient les protons et les neutrons ensemble dans le noyau atomique.

L'énergie du champ associée à l'interaction forte est décrite par le Lagrangien du champ.

Il s’avère qu’il existe certaines symétries du groupe SU(3) qui laissent le lagrangien de ce champ invariant. Autrement dit, si nous appliquons des éléments de SU(3) à l’énergie, elle reste invariante.

SU(3) est le groupe de Lie formé par les matrices unitaires de dimension 3 de déterminant 1. D'après le théorème de Noether, ce lagrangien a une grandeur conservée associée. Dans le cas d’une interaction forte, cette grandeur est appelée charge de couleur et est responsable du maintien de l’unité des noyaux.

Fascinant, non ?

Un autre exemple de champ quantique avec des symétries associées est le domaine de l'électrodynamique quantique, responsable de l'interaction électromagnétique.

Cette théorie de jauge est associée à une symétrie U(1).

Le rôle principal des groupes de symétrie en mécanique quantique est la description du spin. Nous avons souvent entendu dire que le spin est une propriété quantique sans analogue classique qui peut être imaginée comme une rotation sans que la particule ne tourne réellement (comme nous comprenons classiquement la rotation d'un corps).

En mécanique quantique, nous définissons le spin comme des opérateurs qui agissent sur les fonctions d'onde dans un espace de Hilbert. Ces opérateurs se transforment comme des rotations. Pour cette raison, nous pouvons relier la propriété du spin à une rotation.

Ces rotations appartiennent au groupe spécial de symétrie unitaire SU(2), qui est toujours un groupe de Lie.

La relativité restreinte nous dit, de manière simple, que deux observateurs peuvent observer des réalités différentes d'un même phénomène. Par exemple, si nous voyageons dans un train qui roule à une vitesse de 150 km/h et que nous lançons une balle à 10 km/h, pour nous la balle a une vitesse de 10 km/h.

Cependant, pour un observateur extérieur au train, la vitesse de la balle est de 10 km/h plus la vitesse du train, soit un total de 160 km/h.

Comme on le voit, il existe différentes réalités selon les conditions de l'observateur. On peut donc conclure que la réalité est relative.

En physique, ces « différentes réalités » sont mathématiquement liées par des transformations de Lorentz.

Par conséquent, ce qu’un observateur voit est égal à ce que voit l’autre observateur multiplié par une transformation de Lorentz.

Il s'avère que toutes les transformations de Lorentz forment un groupe sous l'opération de multiplication matricielle.

La théorie des groupes est très utile dans le domaine de la chimie théorique. Les molécules ont certaines symétries qui facilitent le calcul de certaines propriétés en plus de l'intuition de caractéristiques importantes.

Lorsque nous effectuons une étude quantique des molécules chimiques, nous ne pouvons pas résoudre exactement l’équation de Schrödinger puisqu’il s’agit d’un système polyélectrique.

Pour approximer la solution, nous devons résoudre des intégrales doubles complexes qui nécessitent un coût de calcul très élevé. Dans de nombreux cas, on peut utiliser la symétrie pour simplifier ces intégrales et savoir si leur résultat est nul.

De cette façon, grâce aux symétries expliquées par la théorie des groupes, nous pouvons gagner beaucoup de temps de calcul.

La théorie des groupes, comme il ne pourrait en être autrement, a également de nombreuses applications dans les mathématiques elles-mêmes. À titre d'exemple, je veux vous donner l'utilité de l'algèbre de groupe dans la topologie.

La topologie est une branche des mathématiques qui étudie la forme des objets et des surfaces. Au niveau topologique, un beignet équivaut à une tasse à café, puisque l'on peut déformer un objet en un autre sans couper ni coller, juste se déformer.

Cette transformation de l’objet porte le nom mathématique d’homéomorphisme. Les homéomorphismes peuvent être très complexes à étudier. C’est là qu’intervient le rôle de l’algèbre de groupe abstraite. Nous pouvons utiliser des groupes pour étudier ces homéomorphismes de manière beaucoup plus simple.

Ce domaine des mathématiques qui utilise l'algèbre de groupe pour étudier les topologies est appelé topologie algébrique et a de nombreuses utilisations en mathématiques et en physique.

Vous avez sûrement, à un moment de votre vie, tenté de résoudre ce fameux cube. Il existe de nombreuses versions différentes du Rubik's cube. Le modèle typique que tout le monde possède est le 3x3x3, mais il existe également du 4x4x4, du 5x5x5 et même du 13x13x13.

Eh bien, il s’avère que ce fameux jouet a caché les tenants et les aboutissants de la théorie des groupes. Les mouvements de ce cube sont des permutations et l'ensemble des permutations forme un groupe. Par conséquent, une étude approfondie de ce jouet peut être réalisée grâce à l’algèbre de groupe.