Teoria dos grupos

A teoria dos grupos é uma área da álgebra abstrata dedicada ao estudo de uma estrutura algébrica chamada estrutura de grupo. Esses objetos matemáticos são muito úteis em áreas da ciência como física ou química. Muitas simetrias da relatividade especial ou da mecânica quântica podem ser definidas através da estrutura algébrica do grupo.

O objetivo desta publicação é dar ao leitor uma introdução aos grupos e quais aplicações eles têm na ciência.

A teoria dos grupos nasceu para estudar as soluções de equações algébricas através de radicais. Foram obtidas expressões para a resolução de equações polinomiais de grau 2, grau 3 e grau 4. Porém, o principal problema era saber se para graus maiores que 4 existiam soluções radicais para as equações polinomiais.

No século XIX, um famoso matemático chamado Niels Henrik Abel demonstrou que se existissem soluções radicais para equações polinomiais de grau 5 ou superior, nunca as encontraríamos.

Mais tarde, o jovem Evariste Galois generalizou esta prova utilizando o famoso teorema de Galois.

Este teorema conseguiu uma união entre a teoria dos grupos e a teoria dos corpos e poderia ser usado para provar soluções de equações polinomiais.

Portanto, o primeiro matemático a definir o conceito de grupo foi o francês Galois.

Matemáticos posteriores, como o norueguês Sophus Lie, ampliaram a noção de grupo para uso em problemas analíticos.

Hoje a teoria dos grupos está implícita em muitas áreas da matemática, física ou química.

Um grupo é uma estrutura algébrica composta por um conjunto de elementos e uma operação binária. Esta operação deve satisfazer 4 propriedades. Se forem atendidos, o conjunto de elementos forma uma estrutura algébrica. Um grupo.

A operação tem que ser internalizada. Ou seja, se operarmos sobre dois elementos do grupo, o resultado deverá ser outro elemento do conjunto.

Os elementos do conjunto devem satisfazer a propriedade associativa.

Também deve haver um elemento neutro. Ou seja, se operarmos qualquer elemento com o neutro, o resultado final é o elemento.

Finalmente precisamos da existência de um elemento simétrico. Ou seja, se pegarmos um elemento do grupo e operarmos com sua simetria, obtemos o elemento neutro.

Você não entendeu nada? Vejamos um exemplo!

Para o exemplo usaremos um dos grupos mais comuns: o grupo aditivo de reais. Neste grupo o conjunto de elementos são os números reais e a operação é a soma.

Os elementos deste grupo cumprem a propriedade associativa visto que:

a+(b+c) = (a+b)+c onde a,b e c são números reais.

Há também um elemento neutro, 0. a+0 = a

Cada elemento a possui um elemento simétrico (-a), pois se os operarmos obtemos o elemento neutro, 0: a+(-a) = 0.

A adição no grupo aditivo de reais é uma operação interna, pois se somarmos dois elementos reais quaisquer obtemos outro número real.

Na verdade, a operação de soma atende a todos os requisitos. Portanto, o conjunto de reais junto com a operação de adição forma uma estrutura algébrica de grupo.

Se a operação também for comutativa, ou seja, a+b = b+a, então o grupo é abeliano.

Grupos finitos são aqueles em que o conjunto que o forma possui um número finito de elementos. Alguns exemplos são grupos simétricos ou grupos cíclicos.

Grupos infinitos são descritos de forma análoga a grupos finitos. Porém, neste caso o conjunto possui um número infinito de elementos. Um grupo infinito típico é o grupo de retas geral formado pelo conjunto de matrizes invertíveis de grau n definidas em um corpo K. GL(n,K).

Muitos desses grupos podem assumir uma estrutura adicional. Se as operações de grupo forem suaves, contínuas e regulares podem adquirir estruturas de espaços topológicos.

Os famosos grupos de Lie nascem aqui. Estes são grupos com uma estrutura múltipla adicional (espaço topológico localmente plano). As propriedades desses tipos de objetos são muito interessantes, tendo muitos usos na física quântica ou na física relativística.

Resumindo, grupos de Lie são estruturas de grupos algébricos que, devido às suas propriedades algébricas, adquirem uma estrutura espacial topológica chamada variedade.

Os grupos de Lie são muito úteis em física, pois descrevem conjuntos de simetrias na natureza.

E o que isto significa?

Bem, existe um teorema muito famoso chamado teorema de Noether, formulado pela fabulosa matemática Emilie Noether.

Isto diz que qualquer magnitude conservada na física tem uma simetria associada a ela. Por exemplo, a energia é conservada graças à simetria temporal. O momento linear é conservado devido a uma simetria translacional e o momento angular é conservado porque existe uma simetria rotacional.

A seguir entraremos em mais detalhes sobre o uso da teoria dos grupos na física teórica.

As teorias quânticas de campos são teorias de Gauge que descrevem forças e interações fundamentais por meio de certas simetrias.

Você já adivinhou?

Na verdade, estas simetrias são descritas através de grupos de Lie. Vejamos alguns exemplos:

A interação nuclear forte é a força que mantém prótons e nêutrons juntos no núcleo atômico.

A energia do campo associada à interação forte é descrita pelo Lagrangiano do campo.

Acontece que existem algumas simetrias do grupo SU(3) que deixam o Lagrangiano deste campo invariante. Ou seja, se aplicarmos elementos de SU(3) à energia, ela permanece invariante.

SU(3) é o grupo de Lie formado pelas matrizes unitárias de dimensão 3 com determinante 1. Pelo teorema de Noether, esta Lagrangiana tem uma magnitude conservada associada. No caso da interação forte, essa magnitude é chamada de carga colorida e é responsável por manter os núcleos bem unidos.

Fascinante, certo?

Outro exemplo de campo quântico com simetrias associadas é o campo da eletrodinâmica quântica, responsável pela interação eletromagnética.

Esta teoria de calibre tem uma simetria U(1) associada a ela.

O principal papel dos grupos de simetria na mecânica quântica é a descrição do spin. Ouvimos muitas vezes que o spin é uma propriedade quântica sem análogo clássico que pode ser imaginada como uma rotação sem que a partícula realmente gire (como classicamente entendemos a rotação de um corpo).

Na mecânica quântica definimos spin como operadores que atuam em funções de onda em um espaço de Hilbert. Esses operadores se transformam como rotações. Por esta razão podemos relacionar a propriedade do spin como uma rotação.

Essas rotações pertencem ao grupo especial de simetria unitária SU(2), que ainda é um grupo de Lie.

A relatividade especial diz-nos, de forma simples, que dois observadores podem observar realidades diferentes do mesmo fenómeno. Por exemplo, se viajarmos num trem que viaja a uma velocidade de 150 km/h e lançarmos uma bola a 10 km/h, para nós a bola tem uma velocidade de 10 km/h.

Porém, para um observador fora do trem a velocidade da bola é de 10 km/h mais a velocidade do trem, num total de 160 km/h.

Como vemos, existem realidades diferentes dependendo das condições do observador. Portanto, podemos concluir que a realidade é relativa.

Na física, essas “realidades diferentes” estão matematicamente relacionadas através de transformações de Lorentz.

Portanto, o que um observador vê é igual ao que o outro observador vê multiplicado por uma transformação de Lorentz.

Acontece que todas as transformações de Lorentz formam um grupo na operação de multiplicação de matrizes.

A teoria dos grupos é muito útil no campo da química teórica. As moléculas possuem certas simetrias que facilitam o cálculo de certas propriedades, além de intuir características importantes.

Quando fazemos um estudo de moléculas químicas em nível quântico, não podemos resolver com exatidão a equação de Schrödinger, uma vez que se trata de um sistema polielétrico.

Para aproximar a solução precisamos resolver integrais duplas complexas que apresentam um gasto computacional muito elevado. Em muitos casos, podemos utilizar a simetria para simplificar estes integrais e saber se o seu resultado é zero.

Desta forma, graças às simetrias explicadas pela teoria dos grupos, podemos economizar muito tempo de cálculo.

A teoria dos grupos, como não poderia ser de outra forma, também tem muitas aplicações na própria matemática. Como exemplo, quero dar a você o uso que a álgebra de grupo tem na topologia.

Topologia é um ramo da matemática que estuda a forma de objetos e superfícies. No nível topológico, um donut equivale a uma xícara de café, pois podemos deformar um objeto em outro sem cortar ou colar, apenas deformando.

Essa transformação do objeto é chamada de nome matemático de homeomorfismo. Os homeomorfismos podem ser muito complexos de estudar. É aqui que entra o papel da álgebra de grupo abstrata. Podemos utilizar grupos para estudar estes homeomorfismos de uma forma muito mais simples.

Esta área da matemática que utiliza álgebra de grupo para estudar topologias é chamada de topologia algébrica e tem muitos usos dentro da matemática e da física.

Certamente em algum momento da sua vida você já tentou resolver este famoso cubo. Existem muitas versões diferentes do cubo de Rubik. O típico que todo mundo tem é 3x3x3, mas também existem 4x4x4, 5x5x5 e até 13x13x13.

Bem, acontece que este famoso brinquedo escondeu os meandros da teoria dos grupos. Os movimentos deste cubo são permutações e o conjunto de permutações forma um grupo. Portanto, um estudo aprofundado deste brinquedo pode ser feito através da álgebra de grupo.