Os números reais

Um, dois, três... dez, onze, doze...

Todos nós sabemos contar. Os números são usados ​​em todos os países e em todas as línguas do mundo para poder quantificar. É algo UNIVERSAL e sem eles a humanidade não seria o que é hoje.

Eles estão por toda parte... Toda tecnologia os utiliza para funcionar...

Mas... de onde eles vêm?

Ao longo da história, os seres humanos utilizaram diferentes formas de contar e expressar quantidades. Por exemplo, foram utilizados paus, nós, dedos, entre outros objetos.

Os primeiros sinais de expressão de números em uma superfície como um símbolo datam de 400 a.C. na Mesopotâmia. Foram encontradas tábuas de argila com símbolos feitos com um bastão expressando os primeiros números.

Os símbolos para expressar números também foram usados ​​​​mais tarde na Grécia Antiga e na Roma Antiga. No entanto, foi somente no século 19 que o matemático alemão Richard Dedekind começou a formalizar o conceito de números. O trabalho de Dedekind levou o matemático Giuseppe Peano a publicar os famosos postulados de Peano, que definem com precisão os números naturais, dos quais surgem os números inteiros, racionais e reais.

Na Europa, os números reais têm sido utilizados desde os séculos XVII e XVIII. Porém, sua construção não foi sistematizada. Somente no século XIX, Richard Dedekind e Georg Cantor formalizaram a construção de números reais por diferentes meios. Hoje em dia podemos definir números reais através de cortes de Dedekind ou através de sequências de Cauchy.

Nesta seção tentaremos definir esses números e algumas de suas propriedades de uma forma simples para que todos possam entendê-los. Nas seções posteriores, para os mais corajosos, nos aprofundaremos no formalismo matemático e formalizaremos o conceito de número real.

Os números reais são constituídos pelo conjunto de números naturais, inteiros, racionais e irracionais. Visto do ponto de vista geométrico, qualquer ponto da reta real corresponde a um número real.

Simplificando, qualquer número que usamos no dia a dia, seja um número normal, um número negativo ou um número com decimal, também são números reais.

Esses tipos de números possuem propriedades que nos permitem adicioná-los, subtraí-los, multiplicá-los e dividi-los. Além disso, eles têm uma ordem específica. Por exemplo, 2 é sempre menor que 3 ou 11,2 é maior que 11,11. O que parece óbvio, matematicamente, a ordem dos números, tem que ser definido.

Existem números que não pertencem ao conjunto dos números reais. Por exemplo, números complexos. No entanto, iremos detalhar estes tipos de números em publicações futuras, uma vez que a sua utilização não é óbvia e não os utilizamos no nosso dia-a-dia.

O conjunto de inteiros junto com a adição e a multiplicação formam uma estrutura algébrica conhecida como corpo (na próxima seção entraremos em mais detalhes sobre isso). Isso define algumas propriedades do conjunto de reais para adição e outras propriedades para multiplicação.

Lembremos que os números reais também podem ser subtraídos, mas a operação de subtração consiste, na verdade, em somar o elemento oposto de um determinado número. A mesma coisa acontece com a divisão. A divisão consiste em multiplicar um número pelo elemento inverso de outro número.

Propriedade associativa: Dados 3 números reais a, b e c, a seguinte propriedade é satisfeita:

(a+b)+c = a+(b+c)

(1+2)+3 = 1+(2+3) = 6

Propriedade comutativa: Dados 2 números reais a e b, vale o seguinte: a+b=b+a. Exemplo com números: 2+3 = 3+2 = 5

Elemento neutro: Existe um elemento e que para qualquer número real a é válido: a + e = a. No caso dos números reais, o número e é 0, pois se somarmos qualquer número real a zero, ele retornará o mesmo número real.

Elemento simétrico: Para qualquer número real a existe um elemento oposto que se os somarmos dá o número neutro. Aplicado no caso da soma dos reais:

uma + (-uma) = 0

3 + (-3) = 3 – 3 = 0

Neste caso o número real a é 3 e seu oposto é (-3). Somados, obtemos o número neutro que é 0.

Propriedade associativa: Dados 3 números reais a, b e c, a seguinte propriedade é satisfeita:

(a·b)·c = a·(b·c)

(1·2)·3 = 1·(2·3) = 6

Propriedade comutativa: Dados 2 números reais aeb, vale o seguinte: a·b=b·a. Exemplo com números: 2·3 = 3·2 = 6. A ordem do fator não altera o produto.

Elemento neutro: Existe um elemento e que para qualquer número real a é válido: a · e = a. No caso dos números reais, o número e é 1, pois se multiplicarmos qualquer número real por 1, ele retornará o mesmo número real.

Elemento simétrico: Para qualquer número real a existe um elemento inverso que se os multiplicarmos dá o número neutro. Aplicado no caso da multiplicação de reais:

uma · 1/uma = 1

3 1/3 = 1

Propriedade distributiva: Para 3 números reais a, b, c a seguinte propriedade é satisfeita: a·(b+c) = (a·b) + (a·c)

Muito fácil? Você é um especialista em matemática?

Bem, vamos tornar isso um pouco mais difícil!

Como vimos, os números reais têm propriedades bem definidas para adição e multiplicação. Essas duas operações internas fornecem ao conjunto de reais uma estrutura algébrica chamada corpo. Além disso, o corpo dos reais tem a propriedade de ser ordenado e completo.

Ordenado significa que existe uma ordem total de seus elementos e que eles são compatíveis com as duas operações: adição e multiplicação.

O conceito de completude dos reais é um pouco mais complexo. Poderíamos imaginar que se trata de um corpo que não possui “buracos”. Por exemplo, se pegarmos a reta real e selecionarmos qualquer ponto aleatório, esse número também será real.

Por outro lado, o corpo dos irracionais não é completo, pois entre dois racionais pode haver um irracional (que, portanto, não é um número racional), deixando lacunas entre dois números racionais.

Formalmente, poderíamos definir a completude de um campo como a propriedade de que qualquer sequência de Cauchy nesse campo é convergente nesse campo.

É difícil de entender?

Já tínhamos dito que agora veio a parte difícil!

Agora que entendemos um pouco sobre a estrutura algébrica do conjunto dos números reais, é hora de olhar para a sua construção.

Você já sabe o que são os números reais, de onde vêm e suas propriedades. Mas... Por que eles são tão importantes?

Os números reais são a base de qualquer operação matemática que possamos encontrar em nossas vidas diárias. Que você possa adicionar sua lista de compras ou receber um WhatsApp no ​​seu celular é graças ao fato de esses números existirem e de seu funcionamento estar bem definido.

Na próxima vez que você pegar um avião ou fizer compras com cartão de crédito, pense que é graças à MÁGICA DOS NÚMEROS REAIS.