Espaces de Hilbert

Si vous êtes fan de mécanique quantique, vous avez sûrement entendu parler des espaces de Hilbert. Ce type d'espace vectoriel est crucial dans toutes les branches de la physique quantique puisque la fonction d'onde et les opérateurs qui agissent sur elle sont définis sur un espace de Hilbert.

Les espaces de Hilbert sont un type d'espaces vectoriels abstraits qui généralisent le concept d'espace euclidien. Pour vraiment comprendre de quoi il s’agit, nous devons comprendre ce qu’est un espace vectoriel.

Un espace vectoriel est un type de structure algébrique définie sur un ensemble d'éléments muni de deux opérations : une opération interne qui est l'addition de vecteurs et une opération externe qui est la multiplication de vecteurs par des scalaires.

Si à propos de cet espace vectoriel nous définissons une nouvelle opération interne , le fameux produit scalaire ou produit scalaire, alors nous dotons cet espace vectoriel d'une géométrie. Cela se produit puisque le produit scalaire nous permet de définir les angles et les distances entre les éléments de l'espace vectoriel à travers la norme.

Lorsque les éléments de cet espace vectoriel à géométrie définie sont l'ensemble des nombres réels alors on parle d'un espace vectoriel euclidien, puisqu'il est conforme aux axiomes géométriques d'Euclide. Quelques exemples sont la ligne (unidimensionnelle) ou le plan (bidimensionnel).

Les espaces de Hilbert sont nés pour généraliser les espaces euclidiens à des dimensions infinies. De plus, les éléments de ce type d'espaces vectoriels peuvent être des fonctions et nous avons donc un espace fonctionnel.

Ce type d'espaces vectoriels est plus abstrait que les espaces euclidiens puisqu'ils permettent de définir une géométrie (distances et angles) entre des fonctions, par exemple complexes. Intuitivement, il est plus difficile de comprendre une distance ou un angle entre deux fonctions, c'est pourquoi on dit qu'il s'agit d'espaces vectoriels abstraits.

Rien qu’avec la définition des espaces de Hilbert, il est difficile de vraiment comprendre de quoi il s’agit. La forme abstraite des mathématiques facilite de nombreux concepts si des exemples sont utilisés. Nous verrons ensuite deux exemples courants d’espaces de Hilbert.

Le premier exemple de base d’un espace de Hilbert est celui des espaces vectoriels euclidiens. Comme nous l'avons expliqué, les espaces de Hilbert sont une généralisation des espaces euclidiens, par conséquent, tout espace vectoriel euclidien fini est également un espace de Hilbert (et non l'inverse).

Un exemple est l'espace tridimensionnel défini sur l'ensemble des réels.

L'ensemble des fonctions définies entre deux espaces vectoriels peut lui-même former une structure d'espace vectoriel de Hilbert définie par le produit interne ou produit scalaire entre deux fonctions de l'ensemble. Ces espaces sont d'une importance vitale pour des domaines tels que la mécanique quantique, l'intelligence artificielle, les équations aux dérivées partielles ou l'analyse de Fourier.