Los números reales

Uno, dos, tres... diez, once, doce...

Todos sabemos contar. Los números se usan en todos los países y en todos los idiomas del mundo para poder cuantificar. Es algo UNIVERSAL y sin ellos la humanidad no sería lo que es hoy en día.

Están en todos los sitios… Toda la tecnología los usa para funcionar…

¿Pero… de dónde surgen?

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A lo largo de la historia los seres humanos han utilizado distintas formas para poder contar y expresar cantidades. Por ejemplo, se usaban palitos, nudos, los dedos entre otros objetos.

Los primeros indicios de expresar números sobre una superficie como símbolo datan del año 400 AC en Mesopotamia. Se han encontrado tablas de arcilla con símbolos hechos con un palo expresando los primeros números.

Los símbolos para expresar números fueron utilizados posteriormente también en la Antigua Grecia y Antigua Roma. No obstante, no fue hasta el siglo XIX cuando el matemático alemán Richard Dedekind empezó a formalizar el concepto de números. El trabajo de Dedekind llevó al matemático Giuseppe Peano a publicar los famosos postulados de Peano, que definen de manera precisa los números naturales, de los cuales surgen los números enteros, racionales y reales.

En Europa, los números reales se han utilizado desde los siglos XVII y XVIII. Sin embargo, su construcción no estaba sistematizada. No fue hasta el siglo XIX, cuando Richard Dedekind y Georg Cantor formalizaron la construcción de los números reales a través de diferentes vías. Hoy en día, podemos definir los números reales a través de las cortaduras de Dedekind o a través de las sucesiones de Cauchy.

En esta sección trataremos de definir estos números y algunas de sus propiedades de manera sencilla para que todo el mundo lo pueda entender. En secciones posteriores, para los más valientes, nos adentraremos dentro del formalismo matemático y formalizaremos el concepto de número real.

Los números reales están formados por el conjunto de números naturales, enteros, racionales y irracionales. Visto des de un punto de vista geométrico, cualquier punto de la recta real corresponde a un número real.

Hablando de manera sencilla, cualquier número que utilizamos nosotros en la vida cuotidiana, ya sea un número normal, un número negativo o un número con decimal, son también números reales.

Este tipo de números tienen propiedades que nos permiten sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Además, tienen un orden concreto. Por ejemplo, el 2 siempre es más pequeño que el 3 o el 11,2 es mas grande que el 11,11. Esto que parece obvio, matemáticamente, el orden de los números, tiene que ser definido.

Existen números que no pertenecen al conjunto de números reales. Por ejemplo, los números complejos. Sin embargo, este tipo de números los detallaremos en futuras publicaciones ya que su uso no es obvio y no los utilizamos en nuestra vida del día a día.

El conjunto de los enteros junto con la suma y la multiplicación forman una estructura algebraica conocida como cuerpo (en la siguiente sección entraremos más en detalle en esto). Esto define unas propiedades del conjunto de los reales para la suma y otras propiedades para la multiplicación.

Recordemos que los reales también se pueden restar, pero la operación resta es en realidad sumar por el elemento opuesto de un cierto número. Lo mismo sucede con la división. La división consiste en multiplicar un número por el elemento inverso de otro número.

Propiedad asociativa: dados 3 números reales a,b y c se cumple la siguiente propiedad:

(a+b)+c = a+(b+c)

(1+2)+3 = 1+(2+3) = 6

Propiedad conmutativa: dados 2 números reales a y b, lo siguiente se cumple: a+b=b+a. Ejemplo con números: 2+3 = 3+2 = 5

Elemento neutro: existe un elemento e que para cualquier número real a se cumple: a + e = a. En el caso de los reales el número e es el 0 ya que si sumamos cualquier número real a cero nos devuelve el mismo número real.

Elemento simétrico: para cualquier numero real a existe un elemento opuesto que si los sumamos da el número neutro. Aplicado en el caso de la suma de los reales:

a + (-a) = 0

3 + (-3) = 3 – 3 = 0

En este caso el número real a es el 3 y su opuesto es el (-3). Sumados nos da el número neutro que es el 0.

Propiedad asociativa: dados 3 números reales a,b y c se cumple la siguiente propiedad:

(a·b)·c = a·(b·c)

(1·2)·3 = 1·(2·3) = 6

Propiedad conmutativa: dados 2 números reales a y b, lo siguiente se cumple: a·b=b·a. Ejemplo con números: 2·3 = 3·2 = 6. El orden del factor no altera el producto.

Elemento neutro: existe un elemento e que para cualquier número real a se cumple: a · e = a. En el caso de los reales el número e es el 1 ya que si multiplicamos cualquier número real a 1 nos devuelve el mismo número real.

Elemento simétrico: para cualquier numero real a existe un elemento inverso que si los multiplicamos da el número neutro. Aplicado en el caso de la multiplicación de los reales:

a · 1/a = 1

3 · 1/3 = 1

Propiedad distributiva: Para 3 números reales a, b, c se cumple la siguiente propiedad: a·(b+c) = (a·b) + (a·c)

¿Demasiado fácil? ¿Eres una o un crack de las matemáticas?

¡Pues vamos a ponerlo un poco más difícil!

Como hemos visto, los números reales tienen propiedades para la suma y la multiplicación bien definidas. Estas dos operaciones internas dotan al conjunto de los reales de una estructura algebraica llamada cuerpo. Además, el cuerpo de los reales tiene la propiedad de ser ordenado y completo.

Ordenado significa que existe un orden total de sus elementos y que estos son compatibles con las dos operaciones: suma y multiplicación.

El concepto de completitud de los reales es un poco más complejo. Podríamos imaginar que es un cuerpo que no tiene “agujeros”. Por ejemplo, si cogemos la recta real y seleccionamos cualquier punto aleatorio, ese número será también real.

En cambio, el cuerpo de los irracionales no es completo ya que entre dos racionales puede existir un irracional (que por lo tanto no es un número racional) dejando huecos entre dos números racionales.

Formalmente, podríamos definir la completitud de un cuerpo como la propiedad de que cualquier sucesión de Cauchy en ese cuerpo es convergente en ese cuerpo.

¿Cuesta de entender?

¡Ya habíamos dicho que ahora venia lo difícil!

Ahora que ya hemos entendido un poco la estructura algebraica del conjunto de los números reales, ahora es momento de ver su construcción.

Ya sabes que son los números reales, de donde surgen y sus propiedades. Peró… ¿Por qué son tan importantes?

Los números reales son la base de cualquier operación matemática que podamos encontrar en nuestro día a día. Que puedas sumar la lista de la compra o que recibas un whatsapp en tu teléfono móvil es gracias a que existen estos números y a que sus operaciones están bien definidas.

La próxima vez que cojas un avión o que compres con tu tarjeta de crédito piensa que es gracias a la MAGIA DE LOS NÚMEROS REALES.