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Espacios de Hilbert

Introducción a los espacios vectoriales de Hilbert

Si eres fan de la mecánica cuántica seguro que has oído hablar de los espacios de Hilbert. Este tipo de espacio vectorial es crucial en todas las ramas de la física cuántica ya que la función de onda y los operadores que actúan sobre ella están definidos sobre un espacio de Hilbert.

Definición de espacios vectoriales y generalización a espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert son un tipo de espacios vectoriales abstractos que generalizan el concepto de espacio Euclídeo. Para entender realmente que son tenemos que comprender que es un espacio vectorial.

Un espacio vectorial es un tipo de estructura algebraica definida sobre un conjunto de elementos dotados de dos operaciones: una operación interna que es la suma de vectores y una operación externa que es la multiplicación de vectores por escalares.

Si sobre este espacio vectorial definimos una nueva operación interna , el famoso producto escalar o producto interno entonces estamos dotando a este espacio vectorial de una geometría. Esto sucede ya que el producto escalar nos permite definir ángulos y distancias entre los elementos del espacio vectorial a través de la norma.

curvas roc

Curvas ROC

Las curvas ROC y la métrica AUC son muy utilizadas en machine learning en problemas de clasificación para determinar el buen o mal rendimiento de un modelo.

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Cuando los elementos de este espacio vectorial con la geometría definida son el conjunto de números reales entonces estamos hablando de un espacio vectorial Euclídeo, ya que cumple los axiomas geométricos de Euclides. Algunos ejemplos son la recta (unidimensional) o el plano (bidimensional).

Los espacios de Hilbert nacen para generalizar los espacios Euclideos a dimensiones infinitas. Además, los elementos de este tipo de espacios vectoriales pueden ser funciones y por lo tanto tenemos un espacio funcional.

Este tipo de espacios vectoriales son más abstractos que los Euclideos ya que nos permite definir una geometría (distancias y ángulos) entre funciones, por ejemplo, complejas. Intuitivamente es más difícil comprender una distancia o ángulo entre dos funciones, por eso decimos que se tratan de espacios vectoriales abstractos.

Ejemplos de espacios vectoriales de Hilbert

Solo con la definición de espacios de Hilbert es complicado entender realmente de qué se trata. La forma abstracta que tienen las matemáticas hacen que muchos conceptos sean más fáciles si se usan ejemplos. Seguidamente veremos dos ejemplos comunes de espacios de Hilbert.

Espacios Euclideanos

El primer ejemplo básico de espacio de Hilbert son los espacios vectoriales Euclideanos. Como hemos explicado, los espacios de Hilbert son una generalización de los espacios euclideos, por lo tanto, todo espacio vectorial finito Euclidiano es también un espacio de Hilbert (viceversa no)

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Un ejemplo es el espacio tridimensional definido sobre el conjunto de los reales.

Espacios funcionales

El conjunto de funciones definidas entre dos espacios vectoriales puede formar ellas mismas una estructura de espacio vectorial de Hilbert definido por el producto interior o producto escalar entre dos funciones del conjunto. Estos espacios son de vital importancia para campos como la mecánica cuántica, la inteligencia artificial, ecuaciones diferenciales parciales o análisis de Fourier.