Nombres réels
Un, deux, trois... dix, onze, douze...
Nous savons tous compter. Les nombres sont utilisés dans tous les pays et dans toutes les langues du monde pour pouvoir quantifier. C’est quelque chose d’UNIVERSEL et sans eux l’humanité ne serait pas ce qu’elle est aujourd’hui.
Ils sont partout... Toute technologie les utilise pour fonctionner...
Mais d'où viennent-ils?
Aujourd'hui, nous parlerons de
L'origine des nombres réels
Tout au long de l’histoire, les êtres humains ont utilisé différentes manières de compter et d’exprimer les quantités. Par exemple, des bâtons, des nœuds, des doigts, entre autres objets, ont été utilisés.
Les premiers signes d'expression de nombres sur une surface comme symbole remontent à 400 avant JC en Mésopotamie. Des tablettes d'argile ont été retrouvées avec des symboles réalisés avec un bâton exprimant les premiers chiffres.
Les symboles pour exprimer les nombres ont également été utilisés plus tard dans la Grèce antique et dans la Rome antique. Il faudra cependant attendre le XIXème siècle pour que le mathématicien allemand Richard Dedekind commence à formaliser le concept de nombres. Les travaux de Dedekind ont conduit le mathématicien Giuseppe Peano à publier les célèbres postulats de Peano, qui définissent précisément les nombres naturels, à partir desquels naissent les nombres entiers, rationnels et réels.
En Europe, les nombres réels sont utilisés depuis les XVIIe et XVIIIe siècles. Cependant, sa construction n'a pas été systématisée. Il faudra attendre le XIXe siècle pour que Richard Dedekind et Georg Cantor formalisent la construction des nombres réels par différents moyens. De nos jours, on peut définir des nombres réels grâce aux coupes de Dedekind ou aux séquences de Cauchy.
Que sont les nombres réels ?
Dans cette section, nous allons essayer de définir ces nombres et certaines de leurs propriétés de manière simple afin que tout le monde puisse les comprendre. Dans les sections suivantes, pour les plus courageux, nous approfondirons le formalisme mathématique et formaliserons le concept de nombre réel.
Les nombres réels sont constitués de l’ensemble des nombres naturels, entiers, rationnels et irrationnels. Vu d'un point de vue géométrique, tout point de la droite réelle correspond à un nombre réel.
En termes simples, tous les nombres que nous utilisons dans la vie quotidienne, qu'il s'agisse d'un nombre normal, d'un nombre négatif ou d'un nombre avec une décimale, sont également des nombres réels.
Ces types de nombres ont des propriétés qui nous permettent de les additionner, de les soustraire, de les multiplier et de les diviser. De plus, ils ont un ordre spécifique. Par exemple, 2 est toujours inférieur à 3 ou 11,2 est supérieur à 11,11. Ce qui semble mathématiquement évident, l’ordre des nombres, reste à définir.
Il existe des nombres qui n’appartiennent pas à l’ensemble des nombres réels. Par exemple, les nombres complexes. Nous détaillerons cependant ce type de nombres dans de prochaines publications puisque leur utilisation n’est pas évidente et que nous ne les utilisons pas dans notre vie de tous les jours.
Propriétés des nombres réels
L'ensemble des nombres entiers, ainsi que l'addition et la multiplication, forment une structure algébrique appelée champ (dans la section suivante, nous y reviendrons plus en détail). Ceci définit certaines propriétés de l'ensemble des réels pour l'addition et d'autres propriétés pour la multiplication.
Rappelons que les nombres réels peuvent également être soustraits, mais l'opération de soustraction consiste en fait à ajouter l'élément opposé d'un certain nombre. La même chose se produit avec la division. La division consiste à multiplier un nombre par l'élément inverse d'un autre nombre.
Propriétés à ajouter
Propriété associative : Étant donné 3 nombres réels a, b et c, la propriété suivante est satisfaite :
(une+b)+c = une+(b+c)
(1+2)+3 = 1+(2+3) = 6
Propriété commutative : Étant donné 2 nombres réels a et b, ce qui suit est vrai : a+b=b+a. Exemple avec des nombres : 2+3 = 3+2 = 5
Élément neutre : Il existe un élément e qui, pour tout nombre réel a, est valable : a + e = a. Dans le cas des nombres réels, le nombre e est 0 puisque si nous ajoutons un nombre réel à zéro, il renvoie le même nombre réel.
Elément symétrique : Pour tout nombre réel a, il existe un élément opposé qui, si nous les additionnons, donne le nombre neutre. Appliqué dans le cas de la somme des réels :
une + (-une) = 0
3 + (-3) = 3 – 3 = 0
Dans ce cas, le nombre réel a est 3 et son opposé est (-3). Additionnés, cela nous donne le nombre neutre qui est 0.
Propriétés de multiplication
Propriété associative : Étant donné 3 nombres réels a, b et c, la propriété suivante est satisfaite :
(a·b)·c = a·(b·c)
(1·2)·3 = 1·(2·3) = 6
Propriété commutative : Étant donné 2 nombres réels a et b, on obtient : a·b=b·a. Exemple avec des nombres : 2·3 = 3·2 = 6. L'ordre du facteur ne modifie pas le produit.
Élément neutre : Il existe un élément e qui, pour tout nombre réel a, est valable : a · e = a. Dans le cas des nombres réels, le nombre e est 1 puisque si l'on multiplie un nombre réel par 1, il renvoie le même nombre réel.
Elément symétrique : Pour tout nombre réel a, il existe un élément inverse qui, si on le multiplie, donne le nombre neutre. Appliqué dans le cas de la multiplication des réels :
une · 1/une = 1
3 1/3 = 1
Propriété distributive : Pour 3 nombres réels a, b, c la propriété suivante est satisfaite : a·(b+c) = (a·b) + (a·c)
Trop facile? Êtes-vous un expert en mathématiques?
Eh bien, rendons les choses un peu plus difficiles !
Nombres réels sous forme de champs ordonnés complets
Comme nous l’avons vu, les nombres réels ont des propriétés d’addition et de multiplication bien définies. Ces deux opérations internes fournissent à l’ensemble des réels une structure algébrique appelée corps. De plus, le corps des réels a la propriété d’être ordonné et complet.
Ordonné signifie qu'il existe un ordre total de ses éléments et qu'ils sont compatibles avec les deux opérations : addition et multiplication.
La notion de complétude des réels est un peu plus complexe. On pourrait imaginer que c'est un corps qui n'a pas de « trous ». Par exemple, si nous prenons la ligne réelle et sélectionnons un point aléatoire, ce nombre sera également réel.
En revanche, le corpus des irrationnels n'est pas complet puisqu'entre deux rationnels il peut y avoir un irrationnel (qui n'est donc pas un nombre rationnel) laissant des écarts entre deux nombres rationnels.
Formellement, nous pourrions définir la complétude d’un corps comme la propriété selon laquelle toute séquence de Cauchy sur ce corps converge vers ce corps.
Est-ce difficile à comprendre ?
Nous l’avions déjà dit, c’était maintenant le plus difficile !
Maintenant que nous avons un peu compris la structure algébrique de l’ensemble des nombres réels, il est maintenant temps d’examiner sa construction.
L'importance des nombres réels
Vous savez déjà ce que sont les nombres réels, d’où ils viennent et leurs propriétés. Mais... Pourquoi sont-ils si importants ?
Les nombres réels constituent la base de toute opération mathématique que nous pouvons rencontrer dans notre vie quotidienne. Le fait que vous puissiez ajouter votre liste de courses ou recevoir un WhatsApp sur votre téléphone mobile est dû au fait que ces numéros existent et que leurs opérations sont bien définies.
La prochaine fois que vous prendrez l'avion ou ferez des achats avec votre carte de crédit, pensez que c'est grâce à la MAGIE DES CHIFFRES RÉELS.